Ensembles finis Exemples

$\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3} > 0$

Étape 1

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{x^{2} + 3 | x |}{x + 3} > 0$

Étape 2

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} + 3 | x | = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 3

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 | x | = - x^{2}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $3 | x | = - x^{2}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $3 | x | = - x^{2}$ par $3$ .

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $| x |$ par $1$ .

$| x | = \frac{- x^{2}}{3}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$| x | = - \frac{x^{2}}{3}$

Étape 5

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (- \frac{x^{2}}{3})$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = - \frac{x^{2}}{3}$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par $3$ .

$x \cdot 3 = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$3 x = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{3}$ dans le numérateur.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Étape 6.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Étape 6.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 x = - x^{2}$

Étape 6.4

Résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x + x^{2} = 0$

Étape 6.4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.4.2.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$3 u + u^{2} = 0$

Étape 6.4.2.2

Factorisez $u$ à partir de $3 u + u^{2}$ .

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Étape 6.4.2.2.1

Factorisez $u$ à partir de $3 u$ .

$u \cdot 3 + u^{2} = 0$

Étape 6.4.2.2.2

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u \cdot u = 0$

Étape 6.4.2.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 3 + u \cdot u$ .

$u (3 + u) = 0$

Étape 6.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x (3 + x) = 0$

Étape 6.4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 + x = 0$

Étape 6.4.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.4.5

Définissez $3 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.5.1

Définissez $3 + x$ égal à $0$ .

$3 + x = 0$

Étape 6.4.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6.4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (3 + x) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3$

Étape 6.5

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = \frac{x^{2}}{3}$

Étape 6.6

Multipliez les deux côtés par $3$ .

$x \cdot 3 = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Étape 6.7

Simplifiez

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Étape 6.7.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.7.1.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Étape 6.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.7.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Étape 6.7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 x = x^{2}$

Étape 6.8

Résolvez $x$ .

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Étape 6.8.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x - x^{2} = 0$

Étape 6.8.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.8.2.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$3 u - u^{2} = 0$

Étape 6.8.2.2

Factorisez $u$ à partir de $3 u - u^{2}$ .

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Étape 6.8.2.2.1

Factorisez $u$ à partir de $3 u$ .

$u \cdot 3 - u^{2} = 0$

Étape 6.8.2.2.2

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- u) = 0$

Étape 6.8.2.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 3 + u (- u)$ .

$u (3 - u) = 0$

Étape 6.8.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x (3 - x) = 0$

Étape 6.8.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0$

Étape 6.8.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.8.5

Définissez $3 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.8.5.1

Définissez $3 - x$ égal à $0$ .

$3 - x = 0$

Étape 6.8.5.2

Résolvez $3 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.8.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 6.8.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.8.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.8.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.8.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.8.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.8.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.8.5.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 6.8.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (3 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 3$

Étape 6.9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 0, - 3, 3$

Étape 7

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0, - 3, 3$

$x = - 3$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 3, 3, - 3$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 3 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{2} + | 3 (- 6) |}{(- 6) + 3} > 0$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 18$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 2)}^{2} + | 3 (- 2) |}{(- 2) + 3} > 0$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $10$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(2)}^{2} + | 3 (2) |}{(2) + 3} > 0$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} + | 3 (6) |}{(6) + 3} > 0$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $6$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Vrai

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 < x < 0$ ou $0 < x < 3$ ou $x > 3$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 15